极惯性矩和抗扭截面系数实心圆截面的极惯性矩

　　1、变形几何关系扭转强度计算等直圆轴扭转时横截面上的切应力实心圆轴横截面上的应力⑴变形后◆★，圆轴上所有的横截面均保持为平面★■◆■◆，即平面假设◆★◆◆■★；⑵横截面上的半径仍保持为直线◆◆■★★；⑶各横截面的间距保持不变。xdd2★◆★■★、物理关系GxGGdddxmmnndabcdabeeeedR3、静力学关系AMAxGddd2p2dIAA称截面的极惯性矩pddGIMx得到圆轴扭转横截面上任意点切应力公式pIMMdAAppmaxRWMIMR当时■■★，表示圆截面边缘处的切应力最大它是与截面形状和尺寸有关的量★★■■。pW式中称为抗扭截面系数。极惯性矩和抗扭截面系数实心圆截面的极惯性矩：32242032DddAAIDAP抗扭截面系数为：4332/2162PPDIDWDD空心圆极惯性矩轴：)1(32)(DdDddAAIDdAP)1(162/43DDIWPPDd式中为空心圆轴内外径之比。空心圆的抗扭截面系数极惯性矩的量纲是长度的四次方，常用的单位为mm4抗扭截面系数的量纲是长度的三次方，常用单位为mm3工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过材料的许用切应力maxpmaxWM■★■★，即等直圆轴扭转时的强度计算圆轴扭转强度条件6◆★.0~5.00★◆◆◆.1~8★■★■◆.0上式称为圆轴扭转强度条件■■◆◆■。塑性材料脆性材料试验表明，材料扭转许用切应力例题汽车的主传动轴，由45号钢的无缝钢管制成，外径◆◆★◆★■，壁厚工作时的最大扭矩，若材料的许用切应力，试校核该轴的强度。mm90Dmm5◆◆◆■◆.21.5NmTKMPa60944★★◆.0905.2290Dd解■◆：1、计算抗扭截面系数主传动轴的内外径之比3344323p(90)(1)(10.944)mm29510mm1616DW抗扭截面系数为2、计算轴的最大切应力3、强度校核MPa8◆■.50max主传动轴安全apMPmmmmNWM8★■◆.5010295105◆★◆◆.1326max例题如把上题中的汽车主传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实心轴的直径★★◆★，并比较空心轴和实心轴的重量。解★★：1★■■★、求实心轴的直径■■★，要求强度相同，即实心轴的最大切应力也为，即MPa51631161■◆■★.510Nmm53◆■■■★★.1mmπ51PaDMapMPDmmNWM5116105■★■■.1362、在两轴长度相等★★◆、材料相同的情况下，两轴重量之比等于两轴横截面面积之比，即：31■◆◆■.01.5385904π)(4π2222122DdDAA实空由此题结果表明，在其它条件相同的情况下，空心轴的重量只是实心轴重量的31%★■■◆★，其节省材料是非常明显的。讨论◆★：例■★★◆◆■、一空心轴α=d/D=0.8，转速n=250r/m,功率=60kW，［τ］=40MPa，求轴的外直径D和内直径d■★。解■◆■◆★：mNn9176.Nm643431040)8.01(1676★■■◆.2291)1(16DDm由mm1.79D得,.d633mm圆轴扭转时的变形5等直圆轴扭转时的变形及刚度条件pddGIMx轴的扭转变形用两横截面的相对扭转角：xGIMddpppddGIMlxGIMll相距长度为l的两横截面相对扭转角为radpGI当扭矩为常数◆★★，且也为常量时，式中称为圆轴扭转刚度■■★◆，它表示轴抵抗扭转变形的能力。pGI相对扭转角的正负号由扭矩的正负号确定:即正扭矩产生正扭转角◆■■◆★，负扭矩产生负扭转角。若两横截面之间T有变化，或极惯性矩变化，亦或材料不同（切变模量G变化），则应通过积分或分段计算出各段的扭转角，然后代数相加，即：niiii i I G l M 1 p  p p d d GI Ml x GI T l l        对于受扭转圆轴的刚度通常用相对扭转角沿杆 长度的变化率用表示■★★◆◆，称为单位长度扭转角。 即：  p d d GI M x     圆轴扭转刚度条件 对于建筑工程◆■◆、精密机械， 刚度的刚度条件：      max                π 180 max p max GI T 在工程中 的单位习惯用（度/米）表示， 将上式中的弧度换算为度■■◆★★，得◆★■◆：    对于等截面圆轴，即为：        π 180 p max max GI M m ) ( 30 ◆◆■■. 0 ~ m ) ( 15 ★★◆. 0   许用扭转角的数值，根据轴的使用精密度◆◆◆■、 生产要求和工作条件等因素确定。 对于精密机器的轴■★◆★■， 对一般传动轴    m ) ( 0 ★◆. 1 ~ m ) ( 5 . 0      mm 50  d 例题 图示轴的直径 GPa 80  G 试计算该轴两端面之间的扭转角。 切变模量 解：（1）各段扭矩： （2）：两端面之间扭转为角： ) 2 ( p p p p BC AB CD BC AB AD M M GI l GI l M GI l M GI l M       4 4 4 4 4 p π π (5 0 ) mm 6 1 . 3 6 1 0 mm 3 2 3 2 d I      6 6 3 4 5 0 0 ( 2 2 1 0 1 1 0 ) 8 0 1 0 6 1 .3 6 1 0 0 . 0 5 1 rad AD           kW 60  P 例题 主传动钢轴，传递功率 ， 传动轴的许用切应力 许用单位长度扭转角 切变模量 ★★， 求传动轴所需的直径 min r 250  n 转速   MPa 40     ) / ( 5 . 0 m    GPa 80  G 解：1、计算轴的扭矩 m N 2292 min r 250 kW 60 9549    M 2、根据强度条件求所需直径        3 p π 16 d M W M 3、根据圆轴扭转的刚度条件，求直径        π 180 p GI M   3 4 4 3 3 3 2 3 2 2 2 9 2 1 0 N m m 7 6 m m π π 8 0 1 0 P a 0 ◆★★■. 5 ( ) 1 0 m m π 1 8 0 T d G M            故应按刚度条件确定传动轴直径，取 mm 76  d   mm MP mm N M d a 3 . 66 40 10 2292 16 16 3 3 3           一◆★■■★★、基本概念： 1■★■★、翘曲◆◆■★★：取一横截面为矩形的杆，在其侧面上画上纵向线和横 向周界线，扭转后发现横向周界线已变为空间曲线，这表明变形 后杆的横截面已不再保持为平面，而变为曲面，这种现象，就称 为翘曲。（见图1） 注：从翘曲这种现象可以看出，平面假设对非圆截面杆件的扭转 已不再适用。 2、自由扭转：等直杆在两端受扭转力偶矩作用，且其翘 曲不受任何限制的情况■■★■◆，属于自由扭转。 特 点：杆件各横截面上的翘曲程度相同★★■◆，纵向纤维的长 度无变化，故横截面上没有正应力而只有剪应力。如图 3、约束扭转：由于约束条件或受力条件的限制■■★，造成杆件各横截 面的翘曲程度不同◆■，这种情况属于约束扭转。 特 点■◆■◆：由于杆件各横截面的翘曲程度不同◆■，这势必引起相 邻两截面之间纵向纤维的长度改变。于是横截面上 除剪应力外还有正应力。 4、薄壁杆件与实体杆件在约束扭转时的差别★◆■◆■■：薄壁杆件 （如工字钢◆★、槽钢等，见图）在约束扭转时正应力相当 大，而实体杆件（如矩形■◆■◆、椭圆形杆件）因约束扭转而 引起的正应力极小，与自由扭转并不太大差别。基于这 个原因，我们在实际工作中处理具体问题时◆◆◆，应该划清 主次。 5、杆件扭转时，横截面边缘各点的剪应力情况与 边界相切。 1★◆◆◆、剪应力的计算■◆◆■★： 矩形截面杆扭转时★■■■，它的横截面上剪应力的分布情况大 致如图所示★★■■■，整个截面上的最大剪应力发生在矩形的长边的 中点，短边上最大剪应力也发生在短边的中点■★◆■。 2 max hb M    max 1    max  ——长边中点的最大剪应力 式中系数  和  都是与比值h/b有关的系数★◆★■★■。可以从表中查到。 2、扭转角的计算◆★： n GI ML hb G ML   3   式中： 3 n hb G GI   ——抗扭刚度  和h/b有关，见表 三◆★★◆■◆、狭长矩形截面杆中的应力变形分析 狭长矩形：h/b

　　10 时★★，这时， 3 1     用  代b得★◆■： 在狭长矩形截面上，扭转剪应力的变化规律大致如下图 所示◆★★： 2 max 3 1   h M  3 3 1   h G ML  最大剪应力仍发生在长边的中点◆■■★◆， 但沿长边各点剪应力的变化不大◆★◆，接近 相等，在靠近矩边处迅速减小为零。 h  max  1  〔 例 〕 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为： h = 100 mm , b = 50mm ◆◆■，长度 L = 2m ，杆的两端受扭转力偶Mx= 4000N . m 的作用，钢的 G = 80G pa ，试求此杆的剪应力和单位长度扭转 角。 解■◆◆◆◆■： ① 查表求α β 。 2 50 100   b h 246 . 0   229 . 0   ② 计算剪应力 2 6 2 2 10 48 . 61 05 ■■◆■◆★. 0 1 ◆■■. 0 246 ◆■★★. 0 m hb W T         a T MP W M 65 48 ■■◆★. 61 4000 max max     ③计算单位长度扭转角 4 8 3 3 10 2 ◆■. 286 05 . 0 1 ◆■★. 0 229 ■◆★■★■. 0 m hb I T        m m rad GI M o T x / 997 . 0 / 0174 . 0 10 2 ◆◆◆◆. 286 10 80 4000 8 9         

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